浜の真砂はいくつある？〜石狩浜海水浴場（あそびーち石狩）〜
石狩浜海水浴場（あそびーち石狩）は石狩市にある、海岸線延長800mほどの海水浴場です。
（筆者撮影）
札幌駅から車で40分程度に位置し、単独の海水浴場としては北海道内で一番多くの海水浴客を集めています。今夏には45万人が訪れています。日本海に沈む夕日も美しく、海水浴シーズン以外にもテントを張ってキャンプする人も少なくありません。すぐそばに温泉もあるので、海水浴で冷えた体を温めてから帰ることもできます。
「砂浜の砂」は「星の数」と同様、たくさんあるものの比喩としてよく使われます。地球上に砂粒が何粒あるかを筆者は知りませんが、少なくとも宇宙を構成する原子の数より少ないことは確かです。宇宙を構成する原子数は10の80乗(1の後ろに0が80個並びます)個くらいと非常に大きな数ですが、無限には多くありません(本マップの「いごよろしく」参照)。この「無限」という概念は非日常的なので、色々と面白い性質があるのですが、今回はそれには触れず、無限に関係して「最大の整数は存在しない」･･･(1)という命題を証明してみましょう。
(1)の命題は当たり前だと直感で思われる方も多いと思います。その直感は正しいのですが、証明してください、と言われるとどうでしょうか？実は意外に簡単に証明できるのです。
証明）最大の整数Mが存在すると仮定する。
Mの次の数をNとすると、NはMより大きい整数である。
よって、常にMより大きな整数が存在するので、最大の整数Mが存在するという仮定は誤りであり、最大の整数は存在しない。（証明終）
これは、与えられた命題の逆を仮定し、その仮定を検証していくうちに矛盾が出てくれば最初の仮定がそもそも誤りである、という「背理法」という考え方を利用した証明です。(1)の場合、最大の整数は存在しないことを証明したいので、最大の整数があったらどうなるかを考えます。この場合は最大の整数をMと仮定したのに、Mより大きなNという整数が常に存在することになるので、そもそも「最大の整数Mが存在する」と仮定したことが誤りということになります。
ではこの方法を応用して「最大の素数は存在しない」･･･(2)という命題の証明をしてみてください。素数とは、1とその数自身でしか割り切れない自然数（正の整数）のことです。小さい方から2、3、5、7、11、･･･と続きます。背理法を利用すると簡潔な証明ができます。
証明）最大の素数をMとし、Mまでの素数はすべて既知とする。
Mまでの素数をすべて掛け合わせ、1を加えた数をNとする。つまりN=(2×3×5×･･･×M)+1である。
Nは既知の素数で明らかに割り切れない（1余る）。
よってMより大きい素数が、Nとして、またはMとNの間に存在するので最大の素数は存在しない。（証明終）
これはどんなに大きな素数があっても、さらに大きな素数を作ることができてしまう、ということを数式で表したものです。もう少し補足しますと、「Nが既知の素数で割り切れない」ということは「Nが既知の素数の倍数ではない」ということを意味しています。この場合、次の二つの場合が考えられます。一つ目は、N自身がMより大きな素数である場合です。二つ目は、NがMとNの間にある素数（仮にP、Qとします）の積である場合で、この場合はPやQがMより大きな素数になります。いずれの場合も、Mが最大の素数であると仮定してもMより大きな素数が存在することになるので、「Mが最大の素数である」という仮定が誤りだということになります。
一般に「･･･が存在しないことを証明せよ。」という命題は、「･･･が存在することを証明せよ。」という命題に比べて証明が難しいことが多いものです。というのも「･･･が存在すること」を証明するには、存在する例を1つ示せば証明できますが、「･･･が存在しないこと」を証明するには、すべての場合に命題が成り立たないことを示さなければいけないからです。そのような時に、命題が成り立つと仮定すると矛盾が出てくることを導き出し、最初に導入した仮定が間違いである、という背理法を常套手段として利用します。
砂浜の砂は有限でも、非常に数が多いものです。筆者がそれを実感するのは、砂浜で遊んだり散歩したりした後に、靴や足についた砂を洗い流したと思ってもどこかに必ず残っている時です。北海道は海水浴可能期間が非常に短いですが、それでも砂浜で遊ぶのは楽しいですし、素足で砂浜を歩くのも気持ち良いものですよね。読者が砂浜に行った時に本記事を思い出していただけたら大変幸せですが、彼女や彼氏といる時に、無限だの有限だのという話題を持ち出してせっかくの雰囲気がまずくなっても当方には一切の責任はありませんので悪しからず。
（文、写真：ひるあんどーん）
この記事を読んで面白いと思った方、クリックしてくださいね。
